સંકલન int_{1}^{e} left( left( frac{x}{e} righ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $I = \int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$. સંકલનને અલગ કરતા: $I = \int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx - \int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx$. પ્રથમ સંકલન માટે,$u = \left( \frac{x}{e} \right)^{2x}$ લો. તેથી $\log_{e} u = 2x (\log_{e} x - 1)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} du = 2 \log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, u = e^{-2}$ અને જ્યારે $x=e, u = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} \log_{e} x \, dx = \frac{1}{2} \int_{e^{-2}}^{1} du = \frac{1}{2} (1 - e^{-2})$. બીજા સંકલન માટે,$v = \left( \frac{e}{x} \right)^{x}$ લો. તેથી $\log_{e} v = x (1 - \log_{e} x)$. વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} dv = -\log_{e} x \, dx$. જ્યારે $x=1, v = e$ અને જ્યારે $x=e, v = 1$. તેથી,$\int_{1}^{e} \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \log_{e} x \, dx = -\int_{e}^{1} dv = e - 1$. કુલ કિંમત: $I = \frac{1}{2} (1 - e^{-2}) - (e - 1) = \frac{3}{2} - e - \frac{1}{2e^2}$.

સંકલન $\int_{1}^{e} \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \left( \frac{e}{x} \right)^{x} \right) \log_{e} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $m$ અને $n$ એવા પૂર્ણાંકો હોય કે જેથી $(m - n)$ એક એકી પૂર્ણાંક હોય,તો નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{\pi} \cos(mx) \sin(nx) \, dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_0^{\pi /2} {\left| {\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right|} \,dx$ નું સાચું મૂલ્ય શોધો.

$3. \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x \sin^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} dx =$

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4 x \, dx = $

$\int_0^3 |x^2 - 3x + 2| dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module